Math News 2026-2-3
本期聚焦几何、优化与随机分析前沿：从Lusztig变体的几何结构到非凸优化的局部误差界分析，涵盖均值场博弈、随机梯度下降的最优采样与方差缩减方法，揭示多尺度生物演化与AI可靠性新机制。
Geometry of regular semisimple Lusztig varieties 95
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代数几何李群表示论代数簇Source:
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[摘要]
研究正则半单Lusztig簇的几何性质，证明其具有理性奇点、仿射开胞等优良结构，并建立其与正则半单Hessenberg簇的同调等价及扁平退化关系，解决长期未解问题。
Rough stochastic filtering 94
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概率论随机分析滤波理论Source:
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[摘要]
提出一种新的粗糙随机滤波框架，通过引入粗糙微分方程统一处理非线性滤波问题，在不依赖维度的正则性条件下证明了滤波方程的存在性、唯一性和稳定性，并将经典滤波方程作为其随机化特例。
Unconditional well-posedness of the master equation for monotone mean field games of controls 94
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偏微分方程均场博弈控制理论Source:
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[摘要]
首次证明了广义控制型均场博弈主方程的无条件适定性，不依赖额外假设，通过N人纳什系统解的紧性与极限分析建立经典解。
Bias-Optimal Bounds for SGD: A Computer-Aided Lyapunov Analysis 92
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优化数值分析随机优化李雅普诺夫方法Source:
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[摘要]
本文通过计算机辅助的李雅普诺夫分析，为随机梯度下降（SGD）的偏差项建立了最优边界，在仅假设目标函数强凸且光滑的前提下，首次覆盖了所有常数步长范围，包括此前未被研究的临界与大步长情形。
Inexact Moreau Envelope Lagrangian Method for Non-Convex Constrained Optimization under Local Error Bound Conditions on Constraint Functions 92
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优化非凸优化拉格朗日方法误差界Source:
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[摘要]
研究非凸优化中约束条件的局部误差界如何影响算法复杂度，提出一种改进的近似Moreau包络拉格朗日方法，在更弱条件下实现最优梯度复杂度。
Optimal sampling for stochastic and natural gradient descent 92
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优化与控制随机优化梯度下降机器学习数学理论Source:
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[摘要]
提出一种基于最优采样的自然梯度下降方法，可在仅获知损失梯度样本的情况下，实现对非线性模型的高效优化，并在经典假设下保证几乎必然收敛至驻点，且在特定条件下达到确定性方法的线性或指数收敛速度。
Optimal Stabilization of Periodic Orbits: A Symplectic Geometry Approach 92
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优化与控制辛几何动力系统非线性控制Source:
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[摘要]
通过辛几何与不变流形理论，提出周期轨道最优稳定化的新型非线性控制方法，利用移动正交坐标系和周期Riccati方程实现高效轨道控制，优于传统线性方法。
Breaking the Stochasticity Barrier: An Adaptive Variance-Reduced Method for Variational Inequalities 92
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优化变分不等式随机优化自适应算法Source:
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[摘要]
提出一种新型自适应优化算法VR-SDA-A，通过方差缩减与曲率验证机制，突破随机鞍点问题中的噪声障碍，实现高效收敛与自动步长调整。
Operating Imperfect AI: Reliability Drift and Human Congestion 92
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优化随机控制队列理论人机协同Source:
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[摘要]
研究不完美AI系统中人类干预资源有限时的动态调度问题，提出基于队列状态与可靠性变化的最优风险阈值策略，揭示拥堵缓解与安全缓冲的结构性规律。
Multifractality in the Tree of Life: A Branching-Process RIFS Proof 92
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概率论分形几何随机过程组合数学Source:
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[摘要]
构建了一种新型随机迭代函数系统（RIFS），通过递归替换叶节点生成无限深度的树状随机几何结构，证明其在温和条件下具有多重分形特性，统一了分支过程与迭代函数系统，揭示生物演化树中多重分形现象的数学根源。