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Math News 2026-1-8 ​

本期聚焦分布式优化、随机系统与几何分析前沿：首项可证明最优的异步SGD算法问世，非测度性逆定理与高阶F₂^ω系统揭示动力系统新现象，群作用、图模型与随机场中的拓扑与概率结构取得突破。

First Provably Optimal Asynchronous SGD for Homogeneous and Heterogeneous Data 95 ​

  • Tags: 优化与控制 随机优化 分布式学习

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
提出三种新型异步随机梯度下降算法，首次在异构数据和同质数据场景下证明异步SGD可达到最优时间复杂度，克服了延迟带来的分析难题。

A Host--Kra -system of order that is not Abramov of order , and non-measurability of the inverse theorem for the norm 94 ​

  • Tags: 动力系统 组合数学 谱理论 高阶Gowers范数

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
构造了一个F₂^ω中阶数为5的Host–Kra系统，它不是Abramov系统，且其对应的U⁶范数逆定理中的相位多项式不可测，突破了该领域长期猜想。

Maximal transitivity of the cactus group on standard Young tableaux 94 ​

  • Tags: 组合数学 表示论 代数几何 群作用

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
研究了cactus群在标准杨表上的作用，证明其在非自对称且非钩形形状下是2-传递的，并揭示其像为全对称群或交错群，推动了量子可积系统与格拉斯曼流形中的伽罗瓦群研究。

Tree metrics and log-concavity for matroids 94 ​

  • Tags: 组合数学 拟阵论 凸分析

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
证明了满足替代性条件的函数其生成多项式为洛伦茨多项式，从而解决两个关于拟阵独立集数列对数凹性的开放问题。

Information geometric regularization of unidimensional pressureless Euler equations yields global strong solutions 92 ​

  • Tags: 偏微分方程 几何分析 变分法 信息几何

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
通过信息几何正则化，将一维无压欧拉方程转化为具有光滑全局解的变分问题，并证明其解在正则化参数趋于零时收敛到熵解，揭示了微分同胚流形在该几何下的测地完备性。

Common Noise by Random Measures: Constructing Mean-Field Equilibria for Competitive Investment and Hedging 92 ​

  • Tags: 优化与控制 随机分析 均场博弈 倒向随机微分方程

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
研究在共同噪声（如泊松过程）下，多个投资者基于相对业绩竞争与指数效用的均场均衡，构建了带跳的麦凯恩-弗拉索夫倒向随机微分方程的解，并给出策略的分解解释。

Mass splitting in the time-discrete generalized Euler equations and non-Monge solutions in multi-marginal optimal transport 92 ​

  • Tags: 偏微分方程 多边际最优传输 变分分析

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
在连续空间的一维情形下，首次构造出广义欧拉方程时间离散版本中的质量分裂解，揭示了非Monge型解的存在性及其简单离散机制。

On the gap between cluster dimensions of loop soups on and the metric graph of 92 ​

  • Tags: 概率论 几何概率 随机过程 尺度极限

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
在三维空间中，度量图上的环流集群的尺度极限维度为5/2，而连续布朗环流的集群维度严格小于5/2，揭示了宏观与微观随机性的微妙差异。

Separation and cut edge in macroscopic clusters for metric graph Gaussian free fields 92 ​

  • Tags: 概率论 统计物理 随机过程 图论

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
在高维格点上的高斯自由场中，证明了存在两个巨大符号簇，其距离远小于典型尺度，揭示了宏观簇间分离机制的全新现象，并推导出关键边数的维度特征。

Boundary operators in the Brownian loop soup 92 ​

  • Tags: 数学物理 共形场论 随机过程 二维统计力学

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
通过分析布朗环流中两点被环分离的概率，发现无穷多个边界算子，其对应二维共形场论中非负整数维的初级算子，并解释为在实轴上插入多个环边界的操作。