Math News 2026-1-22
本期聚焦随机算法收敛性、优化理论新视角、图论与概率模型的深刻进展，涵盖熵收缩、非局部方程逼近、点过程最优传输等前沿方向，体现数学与人工智能交叉的创新力量。
Entropy contraction of the Gibbs sampler under log-concavity 94
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概率论马尔可夫链蒙特卡洛信息不等式凸分析Source:
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[摘要]
在强对数凹假设下，证明了吉布斯采样器在相对熵意义下具有收缩性，并给出了精确的收缩速率；非强对数凹时收敛从指数降为多项式，结果对高维采样效率有深刻启示。
A Control-Theoretic Perspective on Optimal High-Order Optimization 94
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优化控制理论非线性分析数值优化Source:
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[摘要]
从控制理论视角分析高阶优化算法，通过构造带反馈的连续动态系统，证明其全局解存在性与收敛性，并导出最优 $ p $ 阶张量算法，收敛速率分别为 $ O(1/t^{(3p+1)/2}) $ 与 $ O(1/t^{3p}) $。
Asymptotics for -Core Partitions and Stanton's Conjecture 94
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数论组合数学渐近分析Source:
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[摘要]
本文给出了t-核心分拆数ct(N)的通用渐近公式，证明了Stanton关于ct(N)随t单调递增的猜想，揭示了t²与N的相对大小对分拆行为的关键影响。
Equivalent spectral theory for fundamental graph cut problems 94
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组合数学图论非线性谱理论Source:
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[摘要]
提出一类图割问题的等价谱理论，通过集合对Lovász扩展与Dinkelbach方法，将多种经典图割问题统一为非线性特征值问题，揭示其凸差结构与特征向量的精细性质。
Expander graphs are globally synchronizing 94
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组合数学动力系统图论Source:
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[摘要]
证明了具有足够扩张性的图（如随机图和Ramanujan图）上的同质Kuramoto模型全局同步，即几乎所有初始状态都会收敛到完全同步态。
Dean's conjecture and cycles modulo k 94
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组合数学图论圈结构Source:
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[摘要]
证明了Dean关于最小度至少为k的图必含长度被k整除的圈的猜想，对k≥6成立，并进一步揭示了图中存在模k余特定偶数的圈，除非图属于一类例外情况。
A uniform-in-time nonlocal approximation of the standard Fokker-Planck equation 92
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偏微分方程概率论非局部分析Source:
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[摘要]
本文提出一种非局部近似Fokker-Planck方程，通过Harris定理获得不随时间退化的收敛到平衡态的速率估计，揭示其与概率中中心极限定理定量版本的深刻联系，并证明该近似在时间上一致收敛于经典方程。
A Tail-Respecting Explicit Numerical Scheme for L'evy-Driven SDEs With Superlinear Drifts 92
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概率论随机微分方程数值分析Source:
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[摘要]
提出一种新型显式数值方法，用于模拟带超线性漂移和重尾Lévy噪声的多维随机微分方程，证明了在解的矩存在范围内具有最优强收敛率，并保留解的超指数矩性质。
Point Convergence of Nesterov's Accelerated Gradient Method: An AI-Assisted Proof 92
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优化与控制凸分析数值优化Source:
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[摘要]
证明了Nesterov加速梯度法在一般凸优化中具有点收敛性，首次解决该方法自1983年以来的长期开放问题，证明过程借助AI辅助完成。
Hyperuniformity and optimal transport of point processes 92
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概率论随机过程几何概率最优传输Source:
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[摘要]
研究随机点过程在最优传输下的性质，揭示超均匀性如何使平面点过程接近格点，并给出有限方差匹配代价的条件；三维以上无需超均匀性即可实现类似结论。