Math News 2026-1-24
本期聚焦优化算法收敛性、随机过程与图论新进展，涵盖梯度下降的精确率分析、渗流模型中的核心涌现、高维混合模型几何结构及随机图中的彩虹子图存在性等前沿成果。
Exact worst-case convergence rates of gradient descent: a complete analysis for all constant stepsizes over nonconvex and convex functions 94
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优化数学分析梯度方法Source:
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[摘要]
本文精确分析了梯度下降在任意常数步长下的最坏情况收敛速率，涵盖凸、非凸及弱凸函数，首次给出完整范围的严格结果，并推导出最优步长与更优的变步长算法。
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices 94
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组合数学概率论统计物理图论Source:
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[摘要]
在二维环面上随机顺序激活顶点时，3-核大小在一步内从几乎为零突变为几乎全部顶点，揭示了bootstrap渗流中“爆炸式”出现的核心现象。
Characterizations of monadically dependent tree-ordered weakly sparse structures 94
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逻辑与模型论图论稀疏性理论Source:
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[摘要]
研究树序弱稀疏结构的单子依赖性，建立多种图构造下的等价刻画，揭示其与稀疏性理论的深层联系，并给出图排除子图类的模型论特征。
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs 94
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组合数学图论Source:
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[摘要]
研究强边染色图中彩虹哈密顿圈的存在性，证明在足够大阶数下，最小度不低于(n+1)/2的图必含彩虹哈密顿圈，并刻画了最小度恰好为n/2时的例外情况。
Variance bounds in product measures without exponential tails 93
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概率论高维概率方差估计Source:
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[摘要]
研究重尾分布下乘积测度的方差界，推广了切赫不等式，得到比经典结果更优的 阶估计，并在最大值函数上证明其渐近紧性。
Dynamics from iterated averaging 92
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动力系统测度论算子代数Source:
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[摘要]
通过反复平衡成对水箱的水位，研究从满水箱向空水箱转移水量的极限能力，揭示了测度保持变换群在条件期望生成半群的强算子闭包中。
Local geometry of high-dimensional mixture models: Effective spectral theory and dynamical transitions 92
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统计理论高维概率机器学习数学理论随机矩阵理论Source:
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[摘要]
研究高维混合模型中经验风险的局部几何结构，通过哈essian和信息矩阵的谱理论揭示其渐近谱特性，建立训练动态与谱行为之间的联系，适用于多类逻辑回归等场景。
Uniqueness of gauge covariant renormalisation of stochastic 3D Yang-Mills-Higgs 92
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概率论偏微分方程数学物理Source:
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[摘要]
证明了随机3D杨-米尔斯-希格斯方程解的规范协变重整化唯一性，为量子场论极限逼近提供关键理论支撑。
Geometry of spherical spin glasses 92
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概率论统一数学随机分析组合数学Source:
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[摘要]
研究高维球面上自旋玻璃模型的几何结构，揭示其临界点与能量分布的关系，提出基于多重正交副本的自由能方法，推动了TAP近似与优化算法的理解。
The Frog Model on with Discrete Weibull Lifetimes and Random Parameter 92
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概率论随机过程相变理论青蛙模型Source:
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[摘要]
研究一维整数格点上的青蛙模型，粒子寿命服从离散威布尔分布，生存参数随机且分布尾部具有慢变函数特性，揭示了依赖于形状参数γ的精确存活-灭绝相变阈值。