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Math News 2026-1-6 ​

本期聚焦优化算法收敛性、几何拓扑稳定性及随机过程渐近行为，涵盖图论、代数几何、概率统计等多个前沿方向，揭示多领域交叉的深刻数学结构。

First-Order Projected Algorithms With the Same Linear Convergence Rate Bounds as Their Unconstrained Counterparts 92 ​

  • Tags: 优化 凸分析 收敛性理论

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
将无约束优化算法的高效性推广到带凸集约束问题，证明投影后仍保持相同的线性收敛速率，关键在于利用Lyapunov函数与积分二次约束分析。

Stability phenomena in Deligne--Mumford compactifications via Morse theory 92 ​

  • Tags: 微分几何 代数几何 同调论 模空间

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
通过Morse理论研究稳定曲线模空间的有理同调，利用sys_T函数揭示边界支撑性与同调稳定性，几何化证明了低度同调集中于边界，并建立跨所有亏格和标记点的有限生成与稳定性。

Wasserstein-{\L}ojasiewicz inequalities and asymptotics of McKean-Vlasov equation 92 ​

  • Tags: 偏微分方程 凸分析 随机过程 变分法

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
在非凸条件下证明了麦凯恩-弗拉斯洛夫方程解向平衡态收敛，基于 Wasserstein-Łojasiewicz 不等式的新方法，无需凸性或对数 Sobolev 假设。

New Sufficient Conditions for Linear-Sized Epsilon-Nets and -Theorems 92 ​

  • Tags: 组合数学 超图理论 极值图论

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
本文给出线性大小ε-网和(p,2)定理的新充分条件，揭示其与图论中Zarankiewicz问题的深层联系，并推广了平面非交叉区域的 incidence 超图的(p,2)定理。

The Shortest-Path distance on graphons 92 ​

  • Tags: 组合数学 图论 极限理论 几何分析

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
提出图论极限对象“图翁”上的最短路径距离新定义，基于热方程与测地线的Varadhan公式，构造出整数取值的度量，并与全路径信息的通信距离关联，实现希尔伯特空间等距嵌入。

On the uniqueness of a generalized quadrangle of order (4,16) 92 ​

  • Tags: 组合数学 广义多边形

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
证明了阶为(4,16)的广义四边形唯一存在，解决了该类组合结构的分类问题。

Uniform convergence of Pfaffian point process to the Airy line ensemble 92 ​

  • Tags: 概率论 随机过程 极限定理 组合数学

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究一类佩弗安舒尔过程的极限行为，证明其线性系综在紧集上一致收敛于阿雷线系综，拓展了随机矩阵与统计物理中的极限定理。

Bounds on the realizations of zero-nonzero patterns and sign conditions of polynomials restricted to varieties and applications 92 ​

  • Tags: 组合数学 代数几何 计算复杂性理论

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
给出多项式在代数簇上零-非零模式与符号条件数量的维数无关上界，应用于熵、复杂性下界及量子计算中的相对张量秩。

Geometric multiplicity of unitary non-backtracking eigenvalues 92 ​

  • Tags: 组合数学 图论 矩阵分析

  • Source: ArXiv_Math_CO | 阅读原文

[摘要]
本文完全刻画了无向图的非回溯矩阵的单位圆上特征值存在的条件，给出其几何重数的闭式公式，并设计出无需矩阵运算、线性时间完成计算的高效算法。

Voronoi Percolation: Topological Stability and Giant Cycles 92 ​

  • Tags: 概率论 几何概率 拓扑随机过程

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究高维Voronoi渗流的拓扑稳定性，证明微小扰动下拓扑性质仍保持，推广了经典结果并揭示2i维环面上i维巨循环的严格相变现象。