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Math News 2026-1-15 ​

本期聚焦随机矩阵、自旋玻璃与概率极限理论的前沿突破：揭示球面自旋玻璃自由能的普适性二分性，证明径向生成树的几何直性，推进Wasserstein距离下的中心极限定理速率分析，并在量子信息、非线性波动方程及优化算法中取得关键进展。

A Sharp Universality Dichotomy for the Free Energy of Spherical Spin Glasses 96 ​

  • Tags: 概率论 统计物理 随机系统 自旋玻璃

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究球形自旋玻璃模型的自由能，揭示了在不同重尾分布下自由能的普适性二分现象：亚临界时由极值耦合主导，临界时出现极值尖峰与高斯主体共存，超临界时回归高斯模型结果。

The Radial Spanning Tree is straight in all dimensions 94 ​

  • Tags: 概率论 随机几何 图论 随机过程

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
证明了任意维度下径向生成树几乎必然具有“直线性”，揭示其无限分支的渐近方向性质，突破了以往仅限二维的限制。

Wasserstein-p Central Limit Theorem Rates: From Local Dependence to Markov Chains 94 ​

  • Tags: 概率论 统计推断 马尔可夫链 Wasserstein距离

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究依赖数据在Wasserstein-p距离下的中心极限定理收敛速率，首次获得最优O(n⁻¹/²)率，适用于局部依赖和几何遍历马尔可夫链，并推广至U统计量。

Optimization of maximal quantum f-divergences between unitary orbits 94 ​

  • Tags: 量子代数 量子信息几何 算子凸函数 特征值不等式

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
研究量子态在酉轨道上的最大量子f-散度极值，给出精确的谱公式，揭示最小值对应降序 eigen 值配对，最大值对应升序配对，完整刻画散度范围。

Invariance of measure under nonlinear wave and Schr"odinger equations on the plane 92 ​

  • Tags: 偏微分方程分析 随机偏微分方程 测度不变性

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
证明了二维平面上非线性波动方程在加权Besov空间中几乎必然适定，关键在于建立ϕ⁴测度在无限体积下的不变性，通过有限传播速度将问题归约为周期情形。

Quantified Cram'er-Wold Continuity Theorem for the Kantorovich Transport Distance 92 ​

  • Tags: 概率论 测度论 传输距离 高维统计

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
给出多维概率测度间Kantorovich传输距离的上界，通过其一维投影的传输距离来量化，从而精确化了Cramér-Wold连续性定理。

Exponential twist of probability measures: drift correction in term of a generalized gradient. Complete version 92 ​

  • Tags: 概率论 随机过程 大偏差理论 马尔可夫过程

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究马尔可夫测度的指数扭曲，揭示其作为广义梯度驱动的随机控制问题解的性质，完整刻画了扭曲后测度的马尔可夫性与生成元结构。

Reflecting Poisson walks and dynamical universality in -adic random matrix theory 92 ​

  • Tags: 概率论 随机矩阵 $p$-进数 统计物理

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
构造了-进随机矩阵乘积奇异值的动态极限，提出“反射泊松海”这一新型离散粒子系统，揭示-进随机矩阵理论中的普适性规律。

On the free energy of vector spin glasses with non-convex interactions 92 ​

  • Tags: 概率论 统计物理 自旋玻璃理论

  • Source: ArXiv_Math_PR | 阅读原文

[摘要]
研究非凸相互作用的向量自旋玻璃模型的自由能极限，证明其可表为某泛函的临界值，支持了非严格推导的复本方法的核心结论。

Accelerated Gradient Methods with Biased Gradient Estimates: Risk Sensitivity, High-Probability Guarantees, and Large Deviation Bounds 92 ​

  • Tags: 优化 随机逼近 控制理论 大偏差理论

  • Source: ArXiv_Math_OC | 阅读原文

[摘要]
研究加速梯度方法在存在有偏梯度误差时的鲁棒性与收敛速度的权衡，建立风险敏感指标与大偏差理论的联系，给出高概率和非渐近保证。