Math News 2026-1-28
本期聚焦高维随机系统与优化理论前沿：从二维临界随机热流到稀疏随机集的相变，涵盖多边际最优传输对偶性、图上的Poincaré不等式及格点球体高效填充等突破，揭示概率、几何与动力系统间的深刻联系。
From disordered systems to the Critical 2D Stochastic Heat Flow 95
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概率论随机偏微分方程无序系统临界现象Source:
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[摘要]
本文构建了二维临界随机热流（SHF），解决了一个长期无法处理的奇异随机偏微分方程问题，揭示了无序系统相变点的非高斯普适行为。
Quadratic Programming over Linearly Ordered Fields: Decidability and Attainment of Optimal Solutions 95
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优化与控制代数几何有序域二次规划Source:
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[摘要]
在任意有序域上，证明了线性约束的二次规划问题具有可判定性且最优解必在域内达到，突破了传统依赖实数完备性的限制。
Metric Poincar'e inequalities for graphs 94
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度量几何组合数学随机图嵌入理论Source:
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[摘要]
本文建立图的度量Poincaré不等式，推广马托谢克嵌入理论，给出随机图在任意度量空间中嵌入的最优估计，实现非线性版本的“不可压缩性定理”。
Green geometry, Martin boundary and random walk asymptotics on groups 94
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群论随机游走位势论马丁边界Source:
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[摘要]
揭示了随机游走中格林函数变化泛函Δ如何统一控制马丁边界坍缩、格林几何与线性逃逸，给出Δ趋于零的充要条件，并导出强利乌维勒性质与速度行为的新结论。
Phase Transitions for Sparse Random Sets Under Linear Forms 94
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数论概率论组合数学Source:
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[摘要]
研究随机集合在线性形式下的图像行为，发现全局稀疏到稠密的相变阈值与局部表示数的泊松相变阈值，揭示了随机组合结构的深层规律。
A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport 94
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优化与控制概率论测度论多边际最优传输Source:
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[摘要]
本文建立了多边际最优传输问题在一般波兰空间上的统一Kantorovich对偶理论，证明了对偶性成立并给出了最优对偶势的结构表示，拓展了经典对偶原理至多边际情形。
The Critical 2d Stochastic Heat Flow and Related Models 94
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概率论随机偏微分方程统计物理Source:
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[摘要]
在二维空间中，随机热方程与定向聚合物模型出现相变，临界窗口下定义出独特的“临界2D随机热流”，突破了现有奇异SPDE解理论的限制。
Balanced weighted Motzkin paths: Pearson structure and saddlepoint asymptotics 94
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概率论组合数学渐近分析Source:
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[摘要]
研究高度相关权重的Motzkin路径，发现其生成函数满足Pearson型偏微分方程，通过特征线法得到全漂移范围的闭式解，揭示移动代数奇点控制局部高斯行为与全局大偏差，并给出统一的高精度鞍点近似。
Lattice packing of spheres in high dimensions using a stochastically evolving ellipsoid 93
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度量几何组合几何格点理论Source:
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[摘要]
通过随机演化椭球构造高维空间中的格点球堆积，证明存在密度至少为 的 packing，显著优于此前 的上限。
Thermodynamic structure of the Sinkhorn flow 92
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概率论微分几何信息几何随机过程优化Source:
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[摘要]
揭示了Sinkhorn算法的热力学结构，证明其连续时间版本是熵在非局部Wasserstein几何下的梯度流，赋予其物理意义并导出收敛性不等式。